右の図は１辺の長さが12cmの立方体です。点Ｐは辺ＣＤ上にあって、ＣＰ：ＰＤ＝１：２で、点Ｑは辺ＥＦの真ん中の点です。この立方体を３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面で切って２つの立方体に分けるとき、次の問いに答えなさい。
(1) 切り口は何角形ですか。
(2) できた２つの立体のうち点Ｂを含む方の立体の体積は何立方cmですか。
(3) できた２つの立体の表面積の差は何平方cmですか。
(1)
このような問題では「通る面の数」を数えればよい。
上図１より切り口は５角形 ← 答え
(2)
上図２のように補助線を付け加えれば、三角すいＡＢＩ-Ｌができる。
三角すいＰＣＩ-Ｊは三角すいＡＢＩ-Ｌと相似で、相似比は１：３
つまり体積比は1：27
三角すいＱＦＫ-Ｌは三角すいＡＢＩ-Ｌと相似で、相似比は１：２
つまり体積比は1：8
三角すいＡＢＩ-Ｌの体積は、BI＝18cm、BL＝24cmより
12×18÷2×24÷3＝864立方cm
三角すいＰＣＩ-Ｊの体積＝864×1/27＝32立方cm
三角すいＱＦＫ-Ｌの体積＝864×1/8＝108立方cm
よって求める体積は、864−(32＋108)＝724立方cm ← 答え
(3)
「表面積」ではなく「表面積の差」を求める問題。
つまりこの問題では切断面の面積を無視できる。
それぞれの面の面積は相似などから長さが分かるので
簡単に求めることができる。
差＝94平方cm ← 答え
